B4281 [蓝桥杯青少年组国赛 2023] 月球疏散行动

思路

显然直接考虑 DP。
我们设 $f_{tim}$ 表示在时间为 $tim$ 时可以发车的情况中的等待时间最小值，且每次发车一定是接走所有人。
也就是说上一次发车一定最晚在 $tim-m$，不然此时就还在路上。
先对所有人的抵达时间排序。
每次发车造成的等待时间总和按照定义就是所有人的到达时间与本次发车时间的差值，也就是等待人数乘以本次发车时间，再减去这些人的到达时间总和。
等待的人在一段连续的区间内，对于某发车时间可带上的最晚到达的人的编号 $ed$ 和不可带上的最早的人的编号 $pl$ 数组可以由二分求得，而他们的到达时间可以前缀和到 $s$ 数组，在这里做预处理。
两次发车时间的间隔至少为 $m$，至多为 $2\times m-1$，若大于了上界，则可以在不影响这两次的前提下在中间多发一次车，一定不劣。
对于所有 $t$，假设这是首次发车，那么等待时间就为 $ed\times i-s_{ed}$，可以对 $f_t$ 赋这个值作为初始化。
然后正式开始 DP。
可以容易的得到转移方法，对于 $i\in[1,t_n],j\in[m,2m)$，分别代表上次发车在 $tim=i$，本次发车在 $tim=i+j$，本次能带上的到达最早的为 $bg=pl_i$，最晚的为 $ed=pl_{i+j}-1$，那么将 $\min{f_{i+j},f_i+(i+j)\times(ed-bg+1)-(s_{ed}-s_{bg-1}}\to f_{i+j}$。
若这两次发车之间没有新到的人，则直接将 $f_i\to f_{i+j}$ 即可。
最后统计答案时要注意，最后一次发车不一定就在 $t_n$，有可能在 $[t_n,t_n+m)$，因为有可能在 $t_n$ 时上一次发的车还没回来，所以导致最后一次发车延后，但最晚是 $t_n+m-1$，因为若大于这个值，上一次发车就可以在 $t_n$ 了。
具体细节可以看看代码当中的注释。

代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second 
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	template<typename T,typename...Args>
    inline void read(T &x,Args&...args){
        read(x);
        read(args...);
    }
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
const int N=505;
const int T=4e6+1007;
const int inf=1e18;
int n,m,t[N],s[N],f[T];
int pl[T];
signed main(){
	read(n,m);
	rep(i,1,n)read(t[i]);
	sort(t+1,t+n+1);
	rep(i,1,n){
		s[i]=s[i-1]+t[i];
	}
	fep(i,0,t[n]+m){ 
		int ed=upper_bound(t+1,t+n+1,i)-t-1;
		f[i]=ed*i-s[ed];
		pl[i]=upper_bound(t+1,t+n+1,i)-t;
	}
	rep(i,0,t[n]){//本次发车时间 
		fep(j,m,m*2){//下次发车至少等m，至多等2m-1 
			int bg=pl[i];
			int ed=pl[i+j]-1;
			if(bg>ed){//两次之间没有任何等待的人 
				f[i+j]=min(f[i+j],f[i]);
				continue;
			}
			f[i+j]=min(f[i+j],f[i]+(i+j)*(ed-bg+1)-(s[ed]-s[bg-1]));
		}
	}
	int res=inf;
	fep(i,t[n],t[n]+m){//注意：最后一次发车最晚在t[n]+m-1 
		res=min(res,f[i]);
	}
	print(res);
}