P16605 [SYSUCPC 2025] Sum

思路

数据范围一眼根号分治。
首先考虑暴力枚举进制，也就是进制转换，对于 $10$ 进制转 $k$ 进制，不断取 $n\bmod k$ 再除 $k$ 直到 $n=0$ 即可。
时间复杂度 $O(B\log n)$，其中 $B$ 是阈值。
然后考虑如何得到一个 $\frac{n}{B}$ 状物，分析上面的方法，发现若 $k>\sqrt n$，那么只能进行两次除法就归零，会取两个值： $n\bmod k,\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$。
那么对于既定的 $k$，贡献则是 $n\bmod k+\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$。
推一下式子：
原式 $=n-\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\times k+\lfloor\frac{n}{k}\rfloor=n-(k-1)\times \lfloor\frac{n}{k}\rfloor$。
枚举 $\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$，要使得原式子在既定的 $\lfloor\frac{n}{k}\rfloor$ 下最小，就是使得 $k-1$ 最大，只需找到 $k$ 最大，那么 $k=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\rfloor$。
这样时间复杂度就是 $O(B\log n+\frac{n}{B})$。
$B$ 至少取 $\sqrt n$，那我们就取 $\sqrt n$。
发现这样还是无法通过，所以考虑优化第一部分，直接在此时答案比已经得到的答案不优的时候中断就可以了。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define double long double
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	inline void read(char &c){
		c=getchar();
		while(isspace(c))c=getchar();
	}
	inline void read(std::string &s){
		s.clear();char c=getchar();
		for(;isspace(c);c=getchar());
		for(;!isspace(c)&&c!=EOF;c=getchar())s+=c;
	}
	template<typename T,typename...Args>
	void read(T &x,Args&...args){
		read(x);read(args...);
	}
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
	inline void print(char c){
		putchar(c);
	}
	inline void print(std::string s){
		fep(i,0,s.size())putchar(s[i]);
	}
	inline void print(const char*s){
		while(*s)putchar(*s++);
	}
	template<typename T,typename...Args>
	void print(const T &x,const Args&...args){
		print(x);print(args...);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
int T,n,R,ans;
int work(int n,int x){
	int res=0;
	while(n>0){
		res+=n%x;
		n/=x;
		if(res>ans)return ans+1;
	}
	return res;
}
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		ans=100;
		read(n,R);
		int B=sqrt(n)+1;
		rep(i,2,min(B,R)){
			ans=min(ans,work(n,i));
		}
		per(i,B,1){
			int a=(int)floor(1.0*n/i);
			if(a>R)break;
			ans=min(ans,n-(n/a)*(a-1));
		}
		ans=min(ans,work(n,R));
		print(ans,'\n');
	}
}