P12675 「LAOI-8」Boundary

思路

首先考虑如何使得整个区间变为 $-10^9$，显然一定有一次修改左端点为 $1$，有一次修改右端点为 $n$，因为无法通过增加 $1$ 使得某个数变为一个极小值（当然不考虑上溢出）。
那么就得到了一种比较普通的方法，取 $1<l<r<n$，那么答案即为 $|a_1-a_l|+l+|a_n-a_r|+(n-r+1)+(r-l+1)$。
化简式子可得 $|a_1-a_l|+|a_n-a_r|+n+2$，可以发现与 $l,r$ 的位置无关，只与 $a_1,a_l$ 与 $a_n,a_r$ 的大小有关。
考虑两个 DP 数组 $f,g$，$f_i$ 表示 $x\in(1,i],\min |a_1-a_x|$，$g_i$ 表示 $x\in[i,n),\min |a_n-a_x|$，这两个数组也是好做的，代码大概是：

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f[1]=inf;g[n]=inf;
rep(i,2,n)f[i]=min(f[i-1],abs(a[1]-a[i]));
per(i,n-1,1)g[i]=min(g[i+1],abs(a[n]-a[i]));

然后直接遍历一个最大的 $l$，答案即为 $f_l+g_r+n+2$。
还有另一种比较普通的方法，就是取 $1<l<r<n$，那么答案即为 $|a_1-a_{l-1}|+l-1+|a_n-a_{r+1}|+(n-r)+|a_l-a_r|+(r-l+1)$。
化简后就是 $|a_1-a_{l-1}|+|a_n-a_{r+1}|+|a_l-a_r|+n$。
注意到这个式子与上面的相似，并且当 $|a_l-a_r|\ge 2$ 的时候就严格劣于上面的式子，所以 $|a_l-a_r|$ 一定只能取 $1$。
那么用一个数组 $p
$ 记录每个值出现的位置即可简单的做出。
还是放个代码：

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rep(i,1,n)read(a[i]),p[a[i]]=i;
rep(i,3,n){
  if(a[i]==n)continue;
  int l=min(i,p[a[i]+1]);
  int r=max(i,p[a[i]+1]);
  if(3<=l&&r<=n-2)ans=min(ans,abs(a[l-1]-a[1])+abs(a[r+1]-a[n])+n+1);
}

然而如果 $r=l+1$，则不需要对 $[l,r]$ 区间再进行一次操作，故答案也可以取到 $|a_1-a_l|+|a_r-a_n|+n$。
还有一种情况就是直接使 $a_1=a_n$，然后对 $[1,n]$ 进行操作，故答案也可以取到 $|a_1-a_n|+n$。
这两种情况特判掉即可。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second 
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	template<typename T,typename...Args>
    inline void read(T &x,Args&...args){
        read(x);
        read(args...);
    }
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
const int N=1e6+7;
const int inf=1e9;
int T,n,a[N];
int f[N],g[N],p[N];
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		read(n);int ans=inf;
		rep(i,1,n)read(a[i]),p[a[i]]=i;
		rep(i,3,n){
			if(a[i]==n)continue;
			int l=min(i,p[a[i]+1]);
			int r=max(i,p[a[i]+1]);
			if(3<=l&&r<=n-2)ans=min(ans,abs(a[l-1]-a[1])+abs(a[r+1]-a[n])+n+1);
		}
		f[1]=inf;g[n]=inf;
		rep(i,2,n)f[i]=min(f[i-1],abs(a[1]-a[i]));
		per(i,n-1,1)g[i]=min(g[i+1],abs(a[n]-a[i]));
		rep(i,2,n-2){
			int l=i,r=i+1;
			ans=min(ans,f[l]+g[r]+n+2);
			ans=min(ans,abs(a[1]-a[l])+abs(a[r]-a[n])+n);
		}
		ans=min(ans,abs(a[1]-a[n])+n);
		print(ans);puts("");
	}
}
/*
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3
1 3 2
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
*/

后记

其实这道题还是好想的，只是情况比较多，需要慢慢讨论，仔细考虑边界条件。