CF2190B1 Sub-RBS (Easy Version)

思路

有一个很简单的思路。
先说结论：如果前 $n\div2-1$ 个中存在右括号，答案是 $n-2$，否则答案是 $-1$。

证明

以下三个命题相互等价：

  1. 存在长度为 $l-2$ 的更好子序列；
  2. 存在任意长度的更好子序列；
  3. $s$ 的第一个右括号后至少有 $2$ 个左括号。

等价性简化证明

  1. $1$ 到 $2$（显然成立）
    若存在长度为 $l-2$ 的更好子序列，该子序列本身就是“任意长度的更好子序列”，直接得证。

  2. $2$ 到 $3$

    • 设 $t$ 是更好的子序列，第一个差异位为 $i$，满足 s[i]==')' 和 t[i]=='('；
    • 差异导致 $t$ 前缀 $0$ 到 $i$ 的平衡度（左括号数 - 右括号数）比 $s$ 多 $2$；
    • $t$ 是合法 RBS，需后续右括号抵消该额外平衡度，且这些右括号均来自 $s$；
    • $s$ 是合法 RBS（最终平衡度为 $0$），故 $s_i$（第一个右括号）后必须有至少 $2$ 个左括号，抵消多余平衡度，得证。

  3. $3$ 到 $1$

    • 定位关键位置：$pos_c$（$s$ 第一个右括号）、$pos_a,pos_b$（$pos_c$ 后前两个左括号）；
    • 构造 $t$：删去 $pos_c$（第一个右括号）和 $pos_b$（后续第二个左括号），保留其余字符顺序，得到长度为 $l-2$ 的子序列；
    • 得证存在长度为 $l-2$ 的更好子序列。

Ad-hoc 题

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second 
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	template<typename T,typename...Args>
    inline void read(T &x,Args&...args){
        read(x);
        read(args...);
    }
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
int T,n,cnt,ans;
string s;
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		cnt=ans=0;
		read(n);
		cin>>s;
		per(i,n-1,0){
			if(s[i]=='('){
				cnt++;
			}
			if(s[i]==')'){
				if(cnt>=2){
					ans=n-2;
					break;
				}
			}
		}
		if(ans==0)ans=-1;
		print(ans);
		puts("");
	}
}