P2651 添加括号III

思路

思路较为简单。因为要使得结果为整数，则最优方案是只将 $a_2$ 设为分母，其它均为分子。这里不做过多赘述，详见其他题解。

具体实现

$a_i$ 的范围非常大，显然不能直接累乘（除非你写高精度）。
注意到其它所有题解在约分时均使用了 $\gcd(a,b)$ 来约分，而它的最坏时间复杂度为 $O(\log \min(a,b))$。
这并不优秀，它使得整体的时间复杂度最坏为 $O(T\cdot n \cdot \log\min(a,b))$ 而我们有一种更优的做法，时间复杂度为 $O(T\cdot n)$。
原理很简单，在每一次累乘后直接将乘积对 $a_2$ 取模即可。

证明

这题的结果由 $(\prod_{i=3}^{n} a_i)\cdot a_1$ 能否整除 $a_2$ 决定。
若我们在每一步后对乘积取模：
设当前乘积为 $m$，要乘 $a_t$，则分配率易证 $m\cdot a_t\equiv m\cdot (a_t\bmod a_2) \pmod {a_2}$。
同理对 $m$ 取模同样不影响结果。
所以我们在过程中可以任意取模，比每次约分都求一次 $\gcd$ 可以更高效地解决此问题。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second 
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	template<typename T,typename...Args>
    inline void read(T &x,Args&...args){
        read(x);
        read(args...);
    }
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
const int N=1e4+7;
int T,n,a[N];
signed main(){
	read(T);
	while(T--){
		read(n);
		rep(i,1,n)read(a[i]);
		int now=a[1]%a[2],flag=0;
		rep(i,3,n){
			now*=a[i];
			if(now%a[2]==0){
				flag=1;
				break;
			}
			now%=a[2];
		}
		if(now%a[2]==0)flag=1;//特判只有两个数的情况
		if(flag)puts("Yes");
		else puts("No");
	}
}