AT_arc212_a [ARC212A] Four TSP

思路

考虑如何构造出一个经过 $4$ 个点的环。
定义不存在任何端点为同一个点的两条边是一组对边。
画图后，我们发现，只有任意两组对边才可以组成一个符合题目要求的环。
考虑枚举这三组对边分别的长度和。
发现第三组对边的长度和可以由前两组求得，并且必定存在合法的六条边的长度分配。
则枚举两组对边长度和 $a,b$，第三组对边长度和为 $c$。
而具体到每一条边时，已知和为 $p$，则长度分配方法有 $p-1$ 种。
最后将题目转化为这个式子（设 $c=k-a-b$）：
$$\sum_{a=1}^{k-2}\sum_{b=1}^{k-1-a}(k-\max(a,b,c))\times(a-1)\times(b-1)\times(c-1)$$
直接按照这个式子实现即可。
要注意 $a,b,c$ 都是正整数，注意判边界条件。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
#define fir first
#define sec second 
#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define fep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define pef(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)
namespace FastIO{
	template<typename T>inline void read(T &x){
		x=0;int f=1;char c=getchar();
		for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
		for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x*=f;
	}
	template<typename T,typename...Args>
    inline void read(T &x,Args&...args){
        read(x);
        read(args...);
    }
	template<typename T>void print(T x){
		if(x<0)x=-x,putchar('-');
		if(x>9)print(x/10);
		putchar((x%10)^48);
	}
}
using namespace std;
using namespace FastIO;
const int mod=998244353;
int k,ans;
signed main(){
	read(k);
	rep(a,1,k-2){
		rep(b,1,k-1-a){
			int c=k-a-b;
			int val=(a+b+c)-max({a,b,c});
			ans+=val*(a-1)%mod*(b-1)%mod*(c-1)%mod;
			ans%=mod;
		}
	}
	print(ans);
}